Pengenalan Sistem Bilangan

Sebelum mempelajari Limit dan Turunan, kita harus memahami bahasa dasar matematika yaitu Sistem Bilangan. Pemahaman yang kuat tentang jenis-jenis bilangan akan membantu Anda menguasai konsep kalkulus dengan lebih mudah.

1. Jenis-Jenis Bilangan

1.1 Hierarki Sistem Bilangan

---

2. Bilangan Real ($\mathbb{R}$)

2.1 Definisi

Bilangan real adalah bilangan yang dapat digambarkan di sepanjang garis bilangan tak hingga. Bilangan ini mencakup semua bilangan rasional dan irasional.

Definisi Formal: Bilangan yang ada di garis bilangan, termasuk bilangan bulat, pecahan, dan desimal (baik berakhir maupun tak berakhir).

2.2 Contoh Bilangan Real

$$2, \quad 4, \quad \sqrt{2}, \quad \sqrt{\frac{14}{3}}, \quad -5, \quad \pi, \quad e$$

2.3 Karakteristik

• Dapat direpresentasikan pada garis bilangan
• Memiliki urutan (dapat dibandingkan: lebih besar, lebih kecil, atau sama)
• Termasuk bilangan rasional (seperti 1/2, 3) dan irasional (seperti √2, π)

---

3. Bilangan Imajiner ($i$)

3.1 Definisi

Bilangan imajiner muncul ketika kita mencoba mencari akar kuadrat dari bilangan negatif. Satuan dasar imajiner dilambangkan dengan $i$.

3.2 Mengapa Bilangan Imajiner Diperlukan?

Dalam bilangan real, kita tidak dapat menghitung $\sqrt{-1}$ karena tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Oleh karena itu, matematikawan menciptakan satuan imajiner $i$ untuk memperluas sistem bilangan.

3.3 Contoh Perhitungan

Contoh 1: $\sqrt{-4} = \sqrt{4(-1)} = \sqrt{4} \sqrt{-1} = 2i$

Contoh 2: $\sqrt{-9} = \sqrt{9(-1)} = \sqrt{9} \sqrt{-1} = 3i$

Contoh 3: $\sqrt{-25} = \sqrt{25(-1)} = 5i$

3.4 Pangkat dari $i$

Perhatikan pola berikut yang sangat berguna dalam perhitungan:

---

4. Bilangan Kompleks ($\mathbb{C}$)

4.1 Definisi

Bilangan kompleks adalah gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner, ditulis dalam bentuk:

$z = a + bi$

Dimana:

• $a$ = bagian real (Re)
• $b$ = bagian imajiner (Im)
• $i$ = satuan imajiner

4.2 Contoh Identifikasi

---

5. Ringkasan

---

💡 Catatan Penting

Hubungan antar bilangan: Semua bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner = 0. Contoh: $5 = 5 + 0i$.

Langkah selanjutnya: Setelah memahami konsep dasar ini, Anda siap mempelajari operasi pada bilangan kompleks di bab berikutnya!