Bilangan Kompleks adalah perluasan dari sistem bilangan riil yang memungkinkan kita bekerja dengan akar kuadrat dari bilangan negatif. Bilangan ini merupakan gabungan antara unsur Riil dan Imajiner .
Bilangan kompleks biasanya dinotasikan dengan huruf z z z
z = a + b i z = a + bi
z = a + bi Keterangan:
Komponen Penjelasan Notasi a a a Bagian Riil R e ( z ) Re(z) R e ( z ) b b b Bagian Imajiner I m ( z ) Im(z) I m ( z ) i i i Satuan imajiner i = − 1 i = \sqrt{-1} i = − 1 i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
Berikut adalah contoh identifikasi bagian riil dan imajiner:
Bilangan Kompleks Bagian Riil Bagian Imajiner z 1 = 3 + 2 i z_1 = 3 + 2i z 1 = 3 + 2 i 3 2 z 2 = 4 − 6 i z_2 = 4 - 6i z 2 = 4 − 6 i 4 -6 z 3 = − 2 + 5 i z_3 = -2 + 5i z 3 = − 2 + 5 i -2 5 z 4 = 7 i z_4 = 7i z 4 = 7 i 0 7
Perkalian bilangan imajiner mengikuti aturan aljabar biasa dengan substitusi i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
Contoh: Hitunglah hasil dari 2 i ⋅ 3 i 2i \cdot 3i 2 i ⋅ 3 i
Penyelesaian:
2 i ⋅ 3 i = ( 2 ⋅ 3 ) ⋅ ( i ⋅ i ) = 6 ⋅ i 2 = 6 ⋅ ( − 1 ) = − 6 \begin{aligned}
2i \cdot 3i &= (2 \cdot 3) \cdot (i \cdot i) \\
&= 6 \cdot i^2 \\
&= 6 \cdot (-1) \\
&= -6
\end{aligned}
2 i ⋅ 3 i = ( 2 ⋅ 3 ) ⋅ ( i ⋅ i ) = 6 ⋅ i 2 = 6 ⋅ ( − 1 ) = − 6
Unik! Hasil perkalian dua bilangan imajiner murni bisa menghasilkan bilangan riil.
Contoh: Hitunglah ( 2 + 3 i ) ( 4 − 5 i ) (2 + 3i)(4 - 5i) ( 2 + 3 i ) ( 4 − 5 i )
Penyelesaian:
( 2 + 3 i ) ( 4 − 5 i ) = 2 ( 4 ) + 2 ( − 5 i ) + 3 i ( 4 ) + 3 i ( − 5 i ) = 8 − 10 i + 12 i − 15 i 2 = 8 + 2 i − 15 ( − 1 ) = 8 + 2 i + 15 = 23 + 2 i \begin{aligned}
(2 + 3i)(4 - 5i) &= 2(4) + 2(-5i) + 3i(4) + 3i(-5i) \\
&= 8 - 10i + 12i - 15i^2 \\
&= 8 + 2i - 15(-1) \\
&= 8 + 2i + 15 \\
&= 23 + 2i
\end{aligned}
( 2 + 3 i ) ( 4 − 5 i ) = 2 ( 4 ) + 2 ( − 5 i ) + 3 i ( 4 ) + 3 i ( − 5 i ) = 8 − 10 i + 12 i − 15 i 2 = 8 + 2 i − 15 ( − 1 ) = 8 + 2 i + 15 = 23 + 2 i Untuk melakukan pembagian pada bilangan kompleks, kita tidak bisa membaginya secara langsung seperti bilangan biasa. Kita harus menggunakan bantuan Konjugat (Sekawan) dari penyebutnya.
Definisi: Konjugat dari sebuah bilangan kompleks z = a + b i z = a + bi z = a + bi
Jika z = a + b i ⟶ z ˉ = a − b i \text{Jika } z = a + bi \quad \longrightarrow \quad \bar{z} = a - bi
Jika z = a + bi ⟶ z ˉ = a − bi Contoh Konjugat:
Bilangan (z z z Konjugat (z ˉ \bar{z} z ˉ 2 + i 2 + i 2 + i 2 − i 2 - i 2 − i 3 − 2 i 3 - 2i 3 − 2 i 3 + 2 i 3 + 2i 3 + 2 i − 4 + 7 i -4 + 7i − 4 + 7 i − 4 − 7 i -4 - 7i − 4 − 7 i 5 i 5i 5 i − 5 i -5i − 5 i
Prinsipnya adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut .
z 1 z 2 = a + b i c + d i ⋅ c − d i c − d i \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di}
z 2 z 1 = c + d i a + bi ⋅ c − d i c − d i
Ingat! Identitas penting: ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 (c + di)(c - di) = c^2 + d^2 ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 + d 2
Diketahui z 1 = 5 + 4 i z_1 = 5 + 4i z 1 = 5 + 4 i z 2 = 3 − 2 i z_2 = 3 - 2i z 2 = 3 − 2 i
Penyelesaian:
Langkah 1: Identifikasi konjugat penyebut → z 2 ˉ = 3 + 2 i \bar{z_2} = 3 + 2i z 2 ˉ = 3 + 2 i
Langkah 2: Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut:
z 1 z 2 = 5 + 4 i 3 − 2 i ⋅ 3 + 2 i 3 + 2 i = ( 5 + 4 i ) ( 3 + 2 i ) ( 3 − 2 i ) ( 3 + 2 i ) = 15 + 10 i + 12 i + 8 i 2 3 2 + 2 2 = 15 + 22 i + 8 ( − 1 ) 9 + 4 = 15 − 8 + 22 i 13 = 7 + 22 i 13 = 7 13 + 22 13 i \begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} &= \frac{5+4i}{3-2i} \cdot \frac{3+2i}{3+2i} \\[10pt]
&= \frac{(5+4i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} \\[10pt]
&= \frac{15 + 10i + 12i + 8i^2}{3^2 + 2^2} \\[10pt]
&= \frac{15 + 22i + 8(-1)}{9 + 4} \\[10pt]
&= \frac{15 - 8 + 22i}{13} \\[10pt]
&= \frac{7 + 22i}{13} \\[10pt]
&= \frac{7}{13} + \frac{22}{13}i
\end{aligned}
z 2 z 1 = 3 − 2 i 5 + 4 i ⋅ 3 + 2 i 3 + 2 i = ( 3 − 2 i ) ( 3 + 2 i ) ( 5 + 4 i ) ( 3 + 2 i ) = 3 2 + 2 2 15 + 10 i + 12 i + 8 i 2 = 9 + 4 15 + 22 i + 8 ( − 1 ) = 13 15 − 8 + 22 i = 13 7 + 22 i = 13 7 + 13 22 i Diketahui z 1 = 2 + i z_1 = 2 + i z 1 = 2 + i z 2 = 1 − − 4 z_2 = 1 - \sqrt{-4} z 2 = 1 − − 4 z 1 z 2 \frac{z_1}{z_2} z 2 z 1
Penyelesaian:
Langkah 1: Sederhanakan z 2 z_2 z 2
z 2 = 1 − − 4 = 1 − 4 ⋅ ( − 1 ) = 1 − 2 i z_2 = 1 - \sqrt{-4} = 1 - \sqrt{4 \cdot (-1)} = 1 - 2i
z 2 = 1 − − 4 = 1 − 4 ⋅ ( − 1 ) = 1 − 2 i Langkah 2: Identifikasi konjugat penyebut → z 2 ˉ = 1 + 2 i \bar{z_2} = 1 + 2i z 2 ˉ = 1 + 2 i
Langkah 3: Lakukan pembagian:
z 1 z 2 = 2 + i 1 − 2 i ⋅ 1 + 2 i 1 + 2 i = ( 2 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 2 + 4 i + i + 2 i 2 1 + 4 = 2 + 5 i + 2 ( − 1 ) 5 = 2 − 2 + 5 i 5 = 5 i 5 = i \begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} &= \frac{2+i}{1-2i} \cdot \frac{1+2i}{1+2i} \\[10pt]
&= \frac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} \\[10pt]
&= \frac{2 + 4i + i + 2i^2}{1 + 4} \\[10pt]
&= \frac{2 + 5i + 2(-1)}{5} \\[10pt]
&= \frac{2 - 2 + 5i}{5} \\[10pt]
&= \frac{5i}{5} \\[10pt]
&= i
\end{aligned}
z 2 z 1 = 1 − 2 i 2 + i ⋅ 1 + 2 i 1 + 2 i = ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) ( 2 + i ) ( 1 + 2 i ) = 1 + 4 2 + 4 i + i + 2 i 2 = 5 2 + 5 i + 2 ( − 1 ) = 5 2 − 2 + 5 i = 5 5 i = i Tentukan hasil dari 5 i \frac{5}{i} i 5
Penyelesaian:
Kita bisa menganggap penyebutnya sebagai 0 + i 0 + i 0 + i 0 − i = − i 0 - i = -i 0 − i = − i
5 i = 5 i ⋅ − i − i = − 5 i − i 2 = − 5 i − ( − 1 ) = − 5 i 1 = − 5 i \begin{aligned}
\frac{5}{i} &= \frac{5}{i} \cdot \frac{-i}{-i} \\[10pt]
&= \frac{-5i}{-i^2} \\[10pt]
&= \frac{-5i}{-(-1)} \\[10pt]
&= \frac{-5i}{1} \\[10pt]
&= -5i
\end{aligned}
i 5 = i 5 ⋅ − i − i = − i 2 − 5 i = − ( − 1 ) − 5 i = 1 − 5 i = − 5 i Operasi Rumus Konjugat a + b i ‾ = a − b i \overline{a+bi} = a-bi a + bi = a − bi Perkalian dengan Konjugat ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 + b 2 Pembagian a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) c 2 + d 2 \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} c + d i a + bi = c 2 + d 2 ( a + bi ) ( c − d i )
Selalu sederhanakan terlebih dahulu! Jika ada akar negatif seperti − 4 \sqrt{-4} − 4 2 i 2i 2 i
Gunakan konjugat untuk pembagian! Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut untuk menghilangkan bilangan imajiner di penyebut.
Ingat: i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1 Ini adalah kunci utama dalam menyederhanakan perhitungan bilangan kompleks.