Integral secara umum dikenal sebagai kebalikan (invers) dari turunan. Jika turunan menurunkan pangkat, maka integral "menaikkan" pangkat. Integral memiliki banyak aplikasi penting, seperti menghitung luas daerah di bawah kurva.
Integral tak tentu adalah operasi kebalikan dari turunan, menghasilkan fungsi dengan konstanta integrasi C C C
โซ f ( x ) โ d x = F ( x ) + C \int f(x) \, dx = F(x) + C
โซ f ( x ) d x = F ( x ) + C
Mengapa ada konstanta C? Karena turunan dari konstanta adalah 0, maka saat kita "membalik" proses turunan, kita tidak tahu konstanta aslinya. Contoh: turunan dari x 2 + 5 x^2 + 5 x 2 + 5 x 2 + 100 x^2 + 100 x 2 + 100 2 x 2x 2 x
Integral tentu menghitung nilai numerik (luas) dengan batas atas dan batas bawah tertentu.
โซ a b f ( x ) โ d x = F ( b ) โ F ( a ) \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
โซ a b โ f ( x ) d x = F ( b ) โ F ( a ) Dimana:
a a a b b b F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x )
โซ a x n โ d x = a โ
1 n + 1 x n + 1 + C (untukย n โ โ 1 ) \int ax^n \, dx = a \cdot \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \quad \text{(untuk } n \neq -1 \text{)}
โซ a x n d x = a โ
n + 1 1 โ x n + 1 + C (untukย n ๎ = โ 1 )
Cara Cepat: "Pangkat ditambah satu, lalu koefisien dibagi dengan pangkat yang baru."
Fungsi Integral โซ k โ d x \int k \, dx โซ k d x k x + C kx + C k x + C โซ x n โ d x \int x^n \, dx โซ x n d x 1 n + 1 x n + 1 + C \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C n + 1 1 โ x n + 1 + C โซ 1 x โ d x \int \frac{1}{x} \, dx โซ x 1 โ d x ln โก โฃ x โฃ + C \ln \vert x \vert + C ln โฃ x โฃ + C โซ ( f ยฑ g ) โ d x \int (f \pm g) \, dx โซ ( f ยฑ g ) d x โซ f โ d x ยฑ โซ g โ d x \int f \, dx \pm \int g \, dx โซ f d x ยฑ โซ g d x
Soal: Tentukan hasil dari โซ 4 โ d x \int 4 \, dx โซ 4 d x
Penyelesaian:
Anggap 4 = 4 x 0 4 = 4x^0 4 = 4 x 0
โซ 4 โ d x = โซ 4 x 0 โ d x = 4 โ
x 0 + 1 0 + 1 + C = 4 โ
1 1 x 1 + C = 4 x + C \begin{aligned}
\int 4 \, dx &= \int 4x^0 \, dx \\[8pt]
&= 4 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C \\[8pt]
&= 4 \cdot \frac{1}{1}x^1 + C \\[8pt]
&= 4x + C
\end{aligned}
โซ 4 d x โ = โซ 4 x 0 d x = 4 โ
0 + 1 x 0 + 1 โ + C = 4 โ
1 1 โ x 1 + C = 4 x + C โ Soal: Tentukan hasil dari โซ 2 x 2 โ d x \int \frac{2}{x^2} \, dx โซ x 2 2 โ d x
Penyelesaian:
Langkah 1: Ubah ke bentuk pangkat negatif
2 x 2 = 2 x โ 2 \frac{2}{x^2} = 2x^{-2}
x 2 2 โ = 2 x โ 2 Langkah 2: Integralkan
โซ 2 x โ 2 โ d x = 2 โ
x โ 2 + 1 โ 2 + 1 + C = 2 โ
1 โ 1 x โ 1 + C = โ 2 x โ 1 + C = โ 2 x + C \begin{aligned}
\int 2x^{-2} \, dx &= 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C \\[8pt]
&= 2 \cdot \frac{1}{-1}x^{-1} + C \\[8pt]
&= -2x^{-1} + C \\[8pt]
&= -\frac{2}{x} + C
\end{aligned}
โซ 2 x โ 2 d x โ = 2 โ
โ 2 + 1 x โ 2 + 1 โ + C = 2 โ
โ 1 1 โ x โ 1 + C = โ 2 x โ 1 + C = โ x 2 โ + C โ Soal: Tentukan hasil dari โซ ( x โ 3 ) ( x + 3 ) โ d x \int (x-3)(x+3) \, dx โซ ( x โ 3 ) ( x + 3 ) d x
Penyelesaian:
Langkah 1: Gunakan rumus selisih kuadrat ( a โ b ) ( a + b ) = a 2 โ b 2 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 ( a โ b ) ( a + b ) = a 2 โ b 2
( x โ 3 ) ( x + 3 ) = x 2 โ 9 (x-3)(x+3) = x^2 - 9
( x โ 3 ) ( x + 3 ) = x 2 โ 9 Langkah 2: Integralkan
โซ ( x 2 โ 9 ) โ d x = 1 2 + 1 x 2 + 1 โ 9 x + C = x 3 3 โ 9 x + C \begin{aligned}
\int (x^2 - 9) \, dx &= \frac{1}{2+1}x^{2+1} - 9x + C \\[8pt]
&= \frac{x^3}{3} - 9x + C
\end{aligned}
โซ ( x 2 โ 9 ) d x โ = 2 + 1 1 โ x 2 + 1 โ 9 x + C = 3 x 3 โ โ 9 x + C โ Soal: Tentukan hasil dari โซ ( 3 x 2 โ 4 x + 5 ) โ d x \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx โซ ( 3 x 2 โ 4 x + 5 ) d x
Penyelesaian:
Integralkan setiap suku secara terpisah:
Suku Proses Hasil 3 x 2 3x^2 3 x 2 3 โ
1 3 x 3 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 3 โ
3 1 โ x 3 x 3 x^3 x 3 โ 4 x -4x โ 4 x โ 4 โ
1 2 x 2 -4 \cdot \frac{1}{2}x^2 โ 4 โ
2 1 โ x 2 โ 2 x 2 -2x^2 โ 2 x 2 5 5 5 5 x 5x 5 x 5 x 5x 5 x
Hasil Akhir: x 3 โ 2 x 2 + 5 x + C x^3 - 2x^2 + 5x + C x 3 โ 2 x 2 + 5 x + C
Soal: Tentukan hasil dari โซ ( 4 x 2 โ 3 x ) ( 5 x + 7 ) โ d x \int (4x^2 - 3x)(5x + 7) \, dx โซ ( 4 x 2 โ 3 x ) ( 5 x + 7 ) d x
Penyelesaian:
Langkah 1: Kalikan kedua kurung (distribusi)
( 4 x 2 โ 3 x ) ( 5 x + 7 ) = 4 x 2 ( 5 x ) + 4 x 2 ( 7 ) โ 3 x ( 5 x ) โ 3 x ( 7 ) = 20 x 3 + 28 x 2 โ 15 x 2 โ 21 x = 20 x 3 + 13 x 2 โ 21 x \begin{aligned}
(4x^2 - 3x)(5x + 7) &= 4x^2(5x) + 4x^2(7) - 3x(5x) - 3x(7) \\[8pt]
&= 20x^3 + 28x^2 - 15x^2 - 21x \\[8pt]
&= 20x^3 + 13x^2 - 21x
\end{aligned}
( 4 x 2 โ 3 x ) ( 5 x + 7 ) โ = 4 x 2 ( 5 x ) + 4 x 2 ( 7 ) โ 3 x ( 5 x ) โ 3 x ( 7 ) = 20 x 3 + 28 x 2 โ 15 x 2 โ 21 x = 20 x 3 + 13 x 2 โ 21 x โ Langkah 2: Integralkan setiap suku
โซ ( 20 x 3 + 13 x 2 โ 21 x ) โ d x = 20 โ
1 4 x 4 + 13 โ
1 3 x 3 โ 21 โ
1 2 x 2 + C = 5 x 4 + 13 3 x 3 โ 21 2 x 2 + C \begin{aligned}
\int (20x^3 + 13x^2 - 21x) \, dx &= 20 \cdot \frac{1}{4}x^4 + 13 \cdot \frac{1}{3}x^3 - 21 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\[8pt]
&= 5x^4 + \frac{13}{3}x^3 - \frac{21}{2}x^2 + C
\end{aligned}
โซ ( 20 x 3 + 13 x 2 โ 21 x ) d x โ = 20 โ
4 1 โ x 4 + 13 โ
3 1 โ x 3 โ 21 โ
2 1 โ x 2 + C = 5 x 4 + 3 13 โ x 3 โ 2 21 โ x 2 + C โ Soal: Tentukan hasil dari โซ 3 7 x 6 / 9 โ d x \int \frac{3}{7}x^{6/9} \, dx โซ 7 3 โ x 6/9 d x
Penyelesaian:
Langkah 1: Sederhanakan pangkat pecahan
6 9 = 2 3 \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
9 6 โ = 3 2 โ Langkah 2: Hitung n + 1 n + 1 n + 1
n + 1 = 2 3 + 1 = 2 3 + 3 3 = 5 3 n + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}
n + 1 = 3 2 โ + 1 = 3 2 โ + 3 3 โ = 3 5 โ Langkah 3: Integralkan
โซ 3 7 x 2 / 3 โ d x = 3 7 โ
1 5 / 3 x 5 / 3 + C = 3 7 โ
3 5 x 5 / 3 + C = 9 35 x 5 / 3 + C \begin{aligned}
\int \frac{3}{7}x^{2/3} \, dx &= \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5/3}x^{5/3} + C \\[8pt]
&= \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} x^{5/3} + C \\[8pt]
&= \frac{9}{35} x^{5/3} + C
\end{aligned}
โซ 7 3 โ x 2/3 d x โ = 7 3 โ โ
5/3 1 โ x 5/3 + C = 7 3 โ โ
5 3 โ x 5/3 + C = 35 9 โ x 5/3 + C โ Bentuk Akar: 9 35 x 5 3 + C \frac{9}{35} \sqrt[3]{x^5} + C 35 9 โ 3 x 5 โ + C
Soal: Tentukan hasil dari
โซ 7 x 3 6 x 10 โ d x \int \frac{7x^3}{6x^{10}} \, dx
โซ 6 x 10 7 x 3 โ d x Penyelesaian:
Langkah 1: Sederhanakan menggunakan aturan eksponen x a x b = x a โ b \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} x b x a โ = x a โ b
7 x 3 6 x 10 = 7 6 x 3 โ 10 = 7 6 x โ 7 \frac{7x^3}{6x^{10}} = \frac{7}{6} x^{3-10} = \frac{7}{6} x^{-7}
6 x 10 7 x 3 โ = 6 7 โ x 3 โ 10 = 6 7 โ x โ 7 Langkah 2: Integralkan dengan n + 1 = โ 7 + 1 = โ 6 n + 1 = -7 + 1 = -6 n + 1 = โ 7 + 1 = โ 6
โซ 7 6 x โ 7 โ d x = 7 6 โ
1 โ 6 x โ 6 + C = โ 7 36 x โ 6 + C = โ 7 36 x 6 + C \begin{aligned}
\int \frac{7}{6} x^{-7} \, dx &= \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{-6}x^{-6} + C \\[8pt]
&= -\frac{7}{36} x^{-6} + C \\[8pt]
&= -\frac{7}{36x^6} + C
\end{aligned}
โซ 6 7 โ x โ 7 d x โ = 6 7 โ โ
โ 6 1 โ x โ 6 + C = โ 36 7 โ x โ 6 + C = โ 36 x 6 7 โ + C โ Soal: Tentukan hasil dari
โซ ( 3 x 2 โ 8 ) ( 3 x 2 + 8 ) 12 x 4 โ d x \int \frac{(3x^2 - 8)(3x^2 + 8)}{12x^4} \, dx
โซ 12 x 4 ( 3 x 2 โ 8 ) ( 3 x 2 + 8 ) โ d x Penyelesaian:
Langkah 1: Jabarkan pembilang dengan selisih kuadrat
( 3 x 2 โ 8 ) ( 3 x 2 + 8 ) = ( 3 x 2 ) 2 โ 8 2 = 9 x 4 โ 64 \begin{aligned}
(3x^2 - 8)(3x^2 + 8) &= (3x^2)^2 - 8^2 \\[8pt]
&= 9x^4 - 64
\end{aligned}
( 3 x 2 โ 8 ) ( 3 x 2 + 8 ) โ = ( 3 x 2 ) 2 โ 8 2 = 9 x 4 โ 64 โ
Ingat Bentuk Selisih Kuadrat:
Gunakan identitas aljabar ( a โ b ) ( a + b ) = a 2 โ b 2 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 ( a โ b ) ( a + b ) = a 2 โ b 2 a = 3 x 2 a = 3x^2 a = 3 x 2 b = 8 b = 8 b = 8
Langkah 2: Bagi setiap suku dengan penyebut
9 x 4 โ 64 12 x 4 = 9 x 4 12 x 4 โ 64 12 x 4 = 3 4 โ 16 3 x โ 4 \begin{aligned}
\frac{9x^4 - 64}{12x^4} &= \frac{9x^4}{12x^4} - \frac{64}{12x^4} \\[8pt]
&= \frac{3}{4} - \frac{16}{3}x^{-4}
\end{aligned}
12 x 4 9 x 4 โ 64 โ โ = 12 x 4 9 x 4 โ โ 12 x 4 64 โ = 4 3 โ โ 3 16 โ x โ 4 โ Langkah 3: Integralkan setiap suku
โซ ( 3 4 โ 16 3 x โ 4 ) d x = 3 4 x โ 16 3 โ
1 โ 3 x โ 3 + C = 3 4 x + 16 9 x โ 3 + C = 3 4 x + 16 9 x 3 + C \begin{aligned}
\int \left( \frac{3}{4} - \frac{16}{3}x^{-4} \right) dx &= \frac{3}{4}x - \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{-3}x^{-3} + C \\[8pt]
&= \frac{3}{4}x + \frac{16}{9}x^{-3} + C \\[8pt]
&= \frac{3}{4}x + \frac{16}{9x^3} + C
\end{aligned}
โซ ( 4 3 โ โ 3 16 โ x โ 4 ) d x โ = 4 3 โ x โ 3 16 โ โ
โ 3 1 โ x โ 3 + C = 4 3 โ x + 9 16 โ x โ 3 + C = 4 3 โ x + 9 x 3 16 โ + C โ Integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah, sehingga menghasilkan nilai numerik (bukan fungsi).
โซ a b f ( x ) โ d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) โ F ( a ) \int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)
โซ a b โ f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b โ = F ( b ) โ F ( a )
Perhatian! Pada integral tentu, konstanta C C C
Soal: Hitung nilai dari โซ 1 2 4 x 3 โ d x \int_{1}^{2} 4x^3 \, dx โซ 1 2 โ 4 x 3 d x
Penyelesaian:
Langkah 1: Integralkan fungsi
โซ 4 x 3 โ d x = 4 โ
1 4 x 4 = x 4 \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{1}{4}x^4 = x^4
โซ 4 x 3 d x = 4 โ
4 1 โ x 4 = x 4 Langkah 2: Substitusi batas atas dan batas bawah
[ x 4 ] 1 2 = ( 2 ) 4 โ ( 1 ) 4 = 16 โ 1 = 15 \begin{aligned}
[x^4]_{1}^{2} &= (2)^4 - (1)^4 \\[8pt]
&= 16 - 1 \\[8pt]
&= 15
\end{aligned}
[ x 4 ] 1 2 โ โ = ( 2 ) 4 โ ( 1 ) 4 = 16 โ 1 = 15 โ Teknik substitusi digunakan jika terdapat fungsi di dalam fungsi (komposisi) yang tidak bisa langsung diintegralkan dengan aturan pangkat biasa.
Identifikasi bagian dalam fungsi, misalkan sebagai u u u
Hitung d u d x \frac{du}{dx} d x d u โ d x dx d x d u du d u
Substitusi semua variabel x x x u u u
Integralkan dalam variabel u u u
Kembalikan ke variabel x x x
Soal: Tentukan hasil dari โซ ( 2 x + 3 ) 5 โ d x \int (2x+3)^5 \, dx โซ ( 2 x + 3 ) 5 d x
Penyelesaian:
Langkah 1: Misalkan fungsi dalam
u = 2 x + 3 u = 2x + 3
u = 2 x + 3 Langkah 2: Turunkan untuk mendapatkan d u du d u
d u d x = 2 โ d x = d u 2 \frac{du}{dx} = 2 \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2}
d x d u โ = 2 โ d x = 2 d u โ Langkah 3: Substitusi ke integral
โซ ( 2 x + 3 ) 5 โ d x = โซ u 5 โ
d u 2 = 1 2 โซ u 5 โ d u \int (2x+3)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^5 \, du
โซ ( 2 x + 3 ) 5 d x = โซ u 5 โ
2 d u โ = 2 1 โ โซ u 5 d u Langkah 4: Integralkan
1 2 โซ u 5 โ d u = 1 2 โ
1 6 u 6 + C = u 6 12 + C \begin{aligned}
\frac{1}{2} \int u^5 \, du &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}u^6 + C \\[8pt]
&= \frac{u^6}{12} + C
\end{aligned}
2 1 โ โซ u 5 d u โ = 2 1 โ โ
6 1 โ u 6 + C = 12 u 6 โ + C โ Langkah 5: Kembalikan ke variabel x x x
= ( 2 x + 3 ) 6 12 + C = \frac{(2x+3)^6}{12} + C
= 12 ( 2 x + 3 ) 6 โ + C Turunan Integral x n โ n x n โ 1 x^n \to nx^{n-1} x n โ n x n โ 1 x n โ 1 n + 1 x n + 1 x^n \to \frac{1}{n+1}x^{n+1} x n โ n + 1 1 โ x n + 1 Pangkat turun, dikali pangkat lama Pangkat naik, dibagi pangkat baru Tidak ada konstanta Ada konstanta C C C
โ
Sederhanakan fungsi terlebih dahulu (jabarkan perkalian, bagi pecahan)
โ
Ubah akar dan pecahan ke bentuk pangkat
โ
Periksa apakah perlu menggunakan teknik substitusi
โ
Jangan lupa konstanta C C C
Sederhanakan dulu! Selalu jabarkan perkalian polinomial dan sederhanakan pecahan sebelum mengintegralkan.
Ubah ke bentuk pangkat! Akar (x = x 1 / 2 \sqrt{x} = x^{1/2} x โ = x 1/2 1 x 2 = x โ 2 \frac{1}{x^2} = x^{-2} x 2 1 โ = x โ 2
Hati-hati dengan tanda negatif! Terutama saat pangkat negatif ditambah 1, hasilnya tetap negatif (misal: โ 7 + 1 = โ 6 -7 + 1 = -6 โ 7 + 1 = โ 6