Modulus adalah metode untuk menghitung "jarak" suatu bilangan dari titik pusat (0). Konsep ini sangat penting dalam memahami sifat geometris bilangan kompleks.
Jenis Bilangan Interpretasi Modulus Bilangan Real Jarak linier dari 0 (mengubah negatif menjadi positif) Bilangan Kompleks Panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku pada bidang kompleks
Pada Bilangan Kompleks z = x + y i z = x + yi z = x + y i
Imajiner (y) ↑ | • z = x + yi | /| | / | | / | y (bagian imajiner) | / | | / | | / |z| | |/______|________→ Real (x) O x (bagian real) Modulus ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣
Karena merepresentasikan jarak, kita menggunakan Teorema Pythagoras :
∣ z ∣ = R e 2 + I m 2 = x 2 + y 2 |z| = \sqrt{Re^2 + Im^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
∣ z ∣ = R e 2 + I m 2 = x 2 + y 2 Dimana:
R e = x Re = x R e = x I m = y Im = y I m = y
Sifat Rumus Non-negatif ∣ z ∣ ≥ 0 \vert z \vert \geq 0 ∣ z ∣ ≥ 0 Pembagian ∣ z 1 : z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ : ∣ z 2 ∣ \lvert z_1 : z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert : \lvert z_2 \rvert ∣ z 1 : z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ : ∣ z 2 ∣ Segitiga ∣ z 1 + z 2 ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣ \vert z_1 + z_2 \vert \leq \vert z_1 \vert + \vert z_2 \vert ∣ z 1 + z 2 ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣
Soal: Tentukan modulus dari z = 3 − 4 i z = 3 - 4i z = 3 − 4 i
Penyelesaian:
Langkah 1: Identifikasi bagian real dan imajiner
R e = 3 Re = 3 R e = 3 I m = − 4 Im = -4 I m = − 4
Langkah 2: Gunakan rumus modulus
∣ z ∣ = R e 2 + I m 2 = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 \begin{aligned}
|z| &= \sqrt{Re^2 + Im^2} \\[8pt]
&= \sqrt{3^2 + (-4)^2} \\[8pt]
&= \sqrt{9 + 16} \\[8pt]
&= \sqrt{25} \\[8pt]
&= 5
\end{aligned}
∣ z ∣ = R e 2 + I m 2 = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5
Catatan: Triple Pythagoras (3, 4, 5) sering muncul dalam soal modulus!
Soal: Hitunglah modulus dari:
∣ 3 + 7 i 2 − 10 i ∣ \left| \frac{3+7i}{2-10i} \right|
2 − 10 i 3 + 7 i Penyelesaian:
Strategi: Ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini:
Sederhanakan pembagian dulu, lalu hitung modulus
Gunakan sifat modulus: ∣ z 1 / z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ / ∣ z 2 ∣ \lvert z_1 / z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert / \lvert z_2 \rvert ∣ z 1 / z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ / ∣ z 2 ∣
Cara 1: Sederhanakan Dulu
Langkah 1: Kalikan dengan konjugat penyebut
3 + 7 i 2 − 10 i ⋅ 2 + 10 i 2 + 10 i = 6 + 30 i + 14 i + 70 i 2 2 2 + 10 2 = 6 + 44 i − 70 4 + 100 = − 64 + 44 i 104 \begin{aligned}
\frac{3+7i}{2-10i} \cdot \frac{2+10i}{2+10i} &= \frac{6 + 30i + 14i + 70i^2}{2^2 + 10^2} \\[8pt]
&= \frac{6 + 44i - 70}{4 + 100} \\[8pt]
&= \frac{-64 + 44i}{104}
\end{aligned}
2 − 10 i 3 + 7 i ⋅ 2 + 10 i 2 + 10 i = 2 2 + 1 0 2 6 + 30 i + 14 i + 70 i 2 = 4 + 100 6 + 44 i − 70 = 104 − 64 + 44 i Langkah 2: Pecahkan menjadi bagian Real dan Imajiner
R e = − 64 104 = − 8 13 Re = \frac{-64}{104} = -\frac{8}{13} R e = 104 − 64 = − 13 8 I m = 44 104 = 11 26 Im = \frac{44}{104} = \frac{11}{26} I m = 104 44 = 26 11
Langkah 3: Masukkan ke rumus modulus
∣ z ∣ = ( − 8 13 ) 2 + ( 11 26 ) 2 = 64 169 + 121 676 = 256 676 + 121 676 (Samakan penyebut) = 377 676 = 377 26 \begin{aligned}
|z| &= \sqrt{\left(-\frac{8}{13}\right)^2 + \left(\frac{11}{26}\right)^2} \\[8pt]
&= \sqrt{\frac{64}{169} + \frac{121}{676}} \\[8pt]
&= \sqrt{\frac{256}{676} + \frac{121}{676}} \quad \text{(Samakan penyebut)} \\[8pt]
&= \sqrt{\frac{377}{676}} \\[8pt]
&= \frac{\sqrt{377}}{26}
\end{aligned}
∣ z ∣ = ( − 13 8 ) 2 + ( 26 11 ) 2 = 169 64 + 676 121 = 676 256 + 676 121 (Samakan penyebut) = 676 377 = 26 377 Soal: Buktikan bahwa ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣
z 1 = 2 − 8 i z_1 = 2 - 8i z 1 = 2 − 8 i z 2 = 8 − 2 i z_2 = 8 - 2i z 2 = 8 − 2 i
Penyelesaian:
Ruas Kiri: ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ |z_1 \cdot z_2| ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣
Langkah 1: Kalikan kedua bilangan kompleks
z 1 ⋅ z 2 = ( 2 − 8 i ) ( 8 − 2 i ) = 16 − 4 i − 64 i + 16 i 2 = 16 − 68 i + 16 ( − 1 ) = 16 − 16 − 68 i = 0 − 68 i = − 68 i \begin{aligned}
z_1 \cdot z_2 &= (2 - 8i)(8 - 2i) \\[8pt]
&= 16 - 4i - 64i + 16i^2 \\[8pt]
&= 16 - 68i + 16(-1) \\[8pt]
&= 16 - 16 - 68i \\[8pt]
&= 0 - 68i \\[8pt]
&= -68i
\end{aligned}
z 1 ⋅ z 2 = ( 2 − 8 i ) ( 8 − 2 i ) = 16 − 4 i − 64 i + 16 i 2 = 16 − 68 i + 16 ( − 1 ) = 16 − 16 − 68 i = 0 − 68 i = − 68 i Langkah 2: Hitung modulusnya
∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = 0 2 + ( − 68 ) 2 = 4624 = 68 |z_1 \cdot z_2| = \sqrt{0^2 + (-68)^2} = \sqrt{4624} = \mathbf{68}
∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = 0 2 + ( − 68 ) 2 = 4624 = 68 Ruas Kanan: ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ |z_1| \cdot |z_2| ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣
Langkah 1: Hitung modulus masing-masing
∣ z 1 ∣ = 2 2 + ( − 8 ) 2 = 4 + 64 = 68 ∣ z 2 ∣ = 8 2 + ( − 2 ) 2 = 64 + 4 = 68 \begin{aligned}
|z_1| &= \sqrt{2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \\[8pt]
|z_2| &= \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}
\end{aligned}
∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ = 2 2 + ( − 8 ) 2 = 4 + 64 = 68 = 8 2 + ( − 2 ) 2 = 64 + 4 = 68 Langkah 2: Kalikan kedua hasil
∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ = 68 ⋅ 68 = 68 = 68 |z_1| \cdot |z_2| = \sqrt{68} \cdot \sqrt{68} = 68 = \mathbf{68}
∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ = 68 ⋅ 68 = 68 = 68
**Terbukti! ** Hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan (68 = 68 68 = 68 68 = 68
Rumus Keterangan ∣ z ∣ = x 2 + y 2 \vert z \vert = \sqrt{x^2 + y^2} ∣ z ∣ = x 2 + y 2 Modulus bilangan kompleks z = x + y i z = x + yi z = x + y i ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ \vert z_1 \cdot z_2 \vert = \vert z_1 \vert \cdot \vert z_2 \vert ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ Sifat perkalian ∣ z 1 : z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ : ∣ z 2 ∣ \lvert z_1 : z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert : \lvert z_2 \rvert ∣ z 1 : z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ : ∣ z 2 ∣ Sifat pembagian
Gunakan sifat modulus! Untuk soal perkalian/pembagian, kadang lebih mudah menghitung modulus masing-masing bilangan terlebih dahulu.
Perhatikan Triple Pythagoras! Angka-angka seperti (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) sering muncul dalam soal modulus.
Samakan penyebut dengan hati-hati! Saat menjumlahkan pecahan dalam perhitungan modulus, pastikan penyebut sudah sama.