📜 Hukum-Hukum Logika

Hukum-hukum logika atau Hukum Aljabar Proposisi adalah aturan ekuivalensi yang digunakan untuk memanipulasi dan menyederhanakan ekspresi logika. Berikut adalah daftar hukum beserta penjelasannya:

1. Hukum Identitas

Hukum ini menyatakan bahwa suatu proposisi tidak akan berubah nilai kebenarannya jika dioperasikan dengan elemen identitasnya (Benar untuk $\wedge$, Salah untuk $\vee$).

$$\begin{aligned} p \wedge \mathbf{T} &\equiv p \\ p \vee \mathbf{F} &\equiv p \end{aligned}$$

Penjelasan:

• Sesuatu yang DAN "Benar" hasilnya tergantung sesuatu itu sendiri.
• Sesuatu yang ATAU "Salah" hasilnya tergantung sesuatu itu sendiri.

2. Hukum Dominasi

Suatu proposisi akan "didominasi" atau tertutup oleh nilai kebenaran mutlak tertentu.

$$\begin{aligned} p \vee \mathbf{T} &\equiv \mathbf{T} \\ p \wedge \mathbf{F} &\equiv \mathbf{F} \end{aligned}$$

Penjelasan:

• Apapun jika di-ATAU-kan dengan "Benar", hasilnya pasti Benar.
• Apapun jika di-DAN-kan dengan "Salah", hasilnya pasti Salah.

3. Hukum Idempoten

Operasi logika terhadap variabel yang sama akan menghasilkan variabel itu sendiri.

$$\begin{aligned} p \vee p &\equiv p \\ p \wedge p &\equiv p \end{aligned}$$

Contoh: "Saya lapar atau saya lapar" $\equiv$ "Saya lapar".

4. Hukum Negasi Ganda

Negasi dari suatu negasi adalah bentuk aslinya.

$$\neg(\neg p) \equiv p$$

Contoh: "Tidak benar bahwa saya tidak makan" $\equiv$ "Saya makan".

5. Hukum Komutatif

Urutan proposisi dalam operasi konjungsi atau disjungsi tidak mempengaruhi hasil (bisa ditukar tempat).

$$\begin{aligned} p \vee q &\equiv q \vee p \\ p \wedge q &\equiv q \wedge p \end{aligned}$$

Contoh: "Apel dan Jeruk" sama saja dengan "Jeruk dan Apel".

6. Hukum Asosiatif

Pengelompokan (tanda kurung) pada operasi yang sama tidak mempengaruhi hasil.

$$\begin{aligned} (p \vee q) \vee r &\equiv p \vee (q \vee r) \\ (p \wedge q) \wedge r &\equiv p \wedge (q \wedge r) \end{aligned}$$

7. Hukum Distributif

Hukum ini digunakan untuk menyebarkan satu operator ke dalam kurung operator lain (mirip perkalian terhadap penjumlahan: $a(b+c) = ab + ac$).

$$\begin{aligned} p \vee (q \wedge r) &\equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r) \\ p \wedge (q \vee r) &\equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r) \end{aligned}$$

Contoh: "Saya makan DAN (Roti ATAU Nasi)" $\equiv$ "(Saya makan Roti) ATAU (Saya makan Nasi)".

8. Hukum De Morgan

Hukum ini sangat penting untuk menangani negasi pada tanda kurung. Ingat prinsip: Negasi masuk, operator berbalik.

$$\begin{aligned} \neg(p \wedge q) &\equiv \neg p \vee \neg q \\ \neg(p \vee q) &\equiv \neg p \wedge \neg q \end{aligned}$$

Contoh: "Tidak benar bahwa (saya Kaya DAN Tampan)" $\equiv$ "Saya Tidak Kaya ATAU saya Tidak Tampan".

9. Hukum Trivial

Hubungan antara proposisi dengan negasinya sendiri.

$$\begin{aligned} p \vee \neg p &\equiv \mathbf{T} \quad \text{(Tautologi)} \\ p \wedge \neg p &\equiv \mathbf{F} \quad \text{(Kontradiksi)} \end{aligned}$$

Penjelasan:

• "Hari ini hujan atau tidak hujan" $\to$ Selalu Benar (T).
• "Hari ini hujan dan tidak hujan" $\to$ Mustahil/Salah (F).

10. Hukum Absorpsi

Hukum penyerapan, di mana variabel di luar tanda kurung "menyerap" ekspresi di dalamnya sehingga menjadi lebih sederhana.

Bentuk Standar: Jika variabel di luar sama dengan variabel di dalam.

$$\begin{aligned} p \vee (p \wedge q) &\equiv p \\ p \wedge (p \vee q) &\equiv p \end{aligned}$$

Bentuk dengan Negasi (Redundansi): Jika variabel di dalam adalah negasi dari yang di luar, maka negasinya hilang.

$$\begin{aligned} p \vee (\neg p \wedge q) &\equiv p \vee q \\ p \wedge (\neg p \vee q) &\equiv p \wedge q \end{aligned}$$

11. Hukum Lain (Implikasi & Bikondisional)

Ekuivalensi penting untuk mengubah bentuk implikasi ($\to$) dan bi-implikasi ($\leftrightarrow$) menjadi operasi dasar ($\wedge, \vee, \neg$).

Penyederhanaan Distributif Khusus

Jika variabel sama dikali dengan (variabel lain atau negasinya), hasilnya adalah variabel itu sendiri.

$$(p \wedge q) \vee (p \wedge \neg q) \equiv p$$

Ekuivalensi Implikasi

Mengubah "Jika... maka..." menjadi "Tidak... atau...".

$$\begin{aligned} p \to q &\equiv \neg p \vee q \\ p \to q &\equiv \neg (p \wedge \neg q) \end{aligned}$$

Ekuivalensi Bikondisional

Bikondisional adalah gabungan dua implikasi.

$$\begin{aligned} (p \leftrightarrow q) &\equiv (p \to q) \wedge (q \to p) \\ (p \leftrightarrow q) &\equiv (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q) \end{aligned}$$